Упр.9.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых. Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке (рис. 209).
   Дано: две пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых.
   Построить: отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке.

Пусть даны пересекающиеся прямые $$OB$$ и $$OC$$, пересекающиеся в точке $$O$$, и точка $$A$$, не лежащая на этих прямых.

1. Построим точку $$O’$$, симметричную точке $$O$$ относительно точки $$A$$. Для этого проведём прямую $$OA$$ и отметим на ней точку $$O’$$ так, чтобы $$AO’=AO$$.

2. Аналогично построим точки $$B’$$ и $$C’$$, симметричные точкам $$B$$ и $$C$$ относительно точки $$A$$.

3. Проведём прямые $$O’B’$$ и $$O’C’$$. Тогда $$O’B’ \parallel OB$$ и $$O’C’ \parallel OC$$.

4. Обозначим $$E=OC \cap OB’$$ и $$F=OB \cap OC’$$.

5. Четырёхугольник $$OEO’F$$ — параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Значит, его диагонали $$OO’$$ и $$EF$$ пересекаются и делятся пополам.

6. Так как точка $$A$$ — середина отрезка $$OO’$$, то она является и серединой диагонали $$EF$$.

Следовательно, искомый отрезок — $$EF$$.