Упр.13.1 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: две окружности с радиусами R1 и R2 и расстоянием между их
центрами d > R1+R2;
Найти: наибольшее и наименьшее расстояние между точками X и Y
этих окружностей;
Решение:
1) Пусть O1-центр окружности радиуса R1 и O2-центр окружности
радиуса R2;
2) Так как d > R1+R2, то центр каждой окружности не лежит внутри
другой окружности, а сами окружности не пересекаются;
3) Пусть X и Y произвольные точки окружностей с центрами O1 и O2
соответственно, тогда для ломаной O1 XYO2 по теореме 13.1:
O1 O2?O1 X+XY+YO2;
d < =R1+XY+R2, отсюда XY > = d-R1-R2;
Значит расстояние d-R1-R2 наименьшее;
4) Аналогично для ломаной XO1 O2 Y согласно теореме 13.1:
XY < =XO1+O1 O2+O2 Y = > XY < =d+R1+R2; Значит расстояние d+R1+R2 наибольшее; Ответ: d+R1+R2; d-R1-R2.

Подробный ответ

Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$, где $$O_1O_2=d$$. Так как $$d>R_1+R_2$$, окружности не пересекаются и не имеют общих точек.

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — произвольные точки этих окружностей. Тогда $$O_1X=R_1$$, $$O_2Y=R_2$$.

Для ломаной $$O_1XYO_2$$ по неравенству треугольника имеем:

$$ O_1O_2 \le O_1X+XY+YO_2 $$

то есть

$$ d \le R_1+XY+R_2 $$

Отсюда

$$ XY \ge d-R_1-R_2 $$

Значит, наименьшее расстояние между точками окружностей равно $$d-R_1-R_2$$.

Аналогично для ломаной $$XO_1O_2Y$$:

$$ XY \le XO_1+O_1O_2+O_2Y $$