Вопрос 1 Параграф 3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите первый признак равенства треугольников.
- Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:
$$AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1.$$
Докажем, что $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.
Отложим на луче $$A_1B_1$$ отрезок $$A_1B_2=AB$$ и в той же полуплоскости относительно прямой $$A_1B_1$$ отложим угол $$\angle B_1A_1C_2=\angle A$$ так, чтобы $$A_1C_2=AC$$. Тогда треугольник $$A_1B_2C_2$$ равен треугольнику $$ABC$$ по двум сторонам и углу между ними.
Так как $$A_1C_1=A_1C_2$$, то точки $$C_1$$ и $$C_2$$ лежат на окружности с центром $$A_1$$ и радиусом $$A_1C_1$$. Кроме того, они лежат на одном и том же луче, поэтому $$C_1$$ и $$C_2$$ совпадают.
Из равенства углов $$\angle B_1A_1C_1=\angle B_2A_1C_2$$ и совпадения лучей $$A_1C_1$$ и $$A_1C_2$$ следует, что луч $$A_1B_2$$ совпадает с лучом $$A_1B_1$$. Но на этом луче отложены равные отрезки $$A_1B_1$$ и $$A_1B_2$$, значит, $$B_1$$ и $$B_2$$ тоже совпадают.
Следовательно, $$\triangle A_1B_1C_1$$ совпадает с $$\triangle A_1B_2C_2$$, а значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.
При доказательстве использованы аксиомы:
- аксиома откладывания отрезка на луче от его начальной точки;
- аксиома откладывания угла от луча в заданной полуплоскости.
