Упр.14.1 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (рис. 310).

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный треугольник, у которого $$AB=c$$, $$AC=b$$, $$BC=a$$.

Построим на его сторонах квадраты. Тогда площади этих квадратов равны:

$$S_a=a^2,\quad S_b=b^2,\quad S_c=c^2.$$

Так как треугольник $$ABC$$ прямоугольный, то по теореме Пифагора:

$$c^2=a^2+b^2.$$

Следовательно,

$$S_c=S_a+S_b.$$

Значит, сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе, что и требовалось доказать.