Упр.13.1 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны две окружности с радиусами $$R_1$$ и $$R_2$$ и расстоянием между центрами $$d>R_1+R_2$$. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками $$X$$ и $$Y$$ этих окружностей?

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$, причём $$O_1O_2=d$$.

Так как $$d>R_1+R_2$$, окружности не пересекаются и одна не содержит другую.

Для любых точек $$X$$ и $$Y$$ этих окружностей имеем:

$$O_1O_2\le O_1X+XY+YO_2,$$
$$d\le R_1+XY+R_2,$$
откуда
$$XY\ge d-R_1-R_2.$$

Значит, наименьшее расстояние между точками окружностей равно $$d-R_1-R_2$$.

С другой стороны, для ломаной $$XO_1O_2Y$$:

$$XY\le XO_1+O_1O_2+O_2Y,$$
$$XY\le R_1+d+R_2,$$
то есть
$$XY\le d+R_1+R_2.$$

Следовательно, наибольшее расстояние между точками окружностей равно $$d+R_1+R_2$$.

Ответ: $$d+R_1+R_2$$; $$d-R_1-R_2$$.