Вопрос 1 Параграф 12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите теорему косинусов.

Пусть $$ABC$$ — произвольный треугольник. Докажем, что

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos\angle A.$$

По правилу сложения векторов

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC},$$

откуда

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$BC^2=AC^2+AB^2-2\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right).$$

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними, поэтому

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos\angle A.$$

Подставляя это в полученное равенство, имеем

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos\angle A.$$

Тем самым теорема косинусов доказана.