Упр.9.1 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: при движении параллелограмм переходит в параллелограмм;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм и O-точка пересечения его
диагоналей, тогда: AO=OC и BO=OD;
2) У четырехугольника A’ B’ C’ D’, полученного при движении ABCD,
точка O’ является точкой пересечения диагоналей, тогда по определению
двжения: A’ O’=AO, O’ C’=OC, B’ O’=BO и O’ D’=OD, отсюда
A’ O’=O’ C’ и B’ O’=O’ D’;
3) Так как у четырехугольника A’ B’ C’ D’ диагонали точкой пересечения
делятся пополам, то он является параллелограммом, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Тогда по свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

При движении точки $$A,B,C,D$$ переходят в точки $$A’,B’,C’,D’$$, а точка $$O$$ — в точку $$O’$$. Так как движение сохраняет расстояния, получаем:

$$A’O’=AO,\qquad O’C’=OC,\qquad B’O’=BO,\qquad O’D’=OD.$$

Следовательно,

$$A’O’=O’C’,\qquad B’O’=O’D’.$$

Значит, диагонали четырехугольника $$A’B’C’D’$$ точкой $$O’$$ делятся пополам. По признаку параллелограмма такой четырехугольник является параллелограммом.