Проверьте себя №3 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

1. Какое из следующих утверждений верно?
А) если два отрезка не имеют общих точек, то они параллельны
Б) если два луча не имеют общих точек, то они параллельны
В) если луч и отрезок не имеют общих точек, то они параллельны
Г) если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны
2. Какое из следующих утверждений верно?
А) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только один отрезок, параллельный этой прямой
Б) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только один луч, параллельный этой прямой
В) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не параллельных этой прямой
Г) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходят только две прямые, параллельные этой прямой
3. Какое из следующих утверждений неверно?
А) если a?b и b?c, то a?c; В) если а?b и b?с, то а?с;
Б) если а?b и b?c, то а?с; Г) если а?b и c?b, то с?a;
4. На каком из рисунков прямые a и b параллельны?
5. Какое из следующих утверждений неверно?
А) если сумма углов одной пары накрест лежащих углов равна сумме углов другой пары, то прямые не параллельны
Б) если накрест лежащие углы не равны, то прямые не параллельны
В) если сумма односторонних углов не равна 180°, то прямые не параллельны
Г) если соответственные углы не равны, то прямые не параллельны
6. Сколько внешних углов у треугольника?
А) 3; Б) 6; В) 4; Г) 9.
7. Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине?
А) 180°; Б) 300°; В) 360°; Г) 100°.
8. В треугольнике АBC биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Какое из следующих равенств верно?
А) ?AOC = 90° — (1/2)?B; В) ?AOC = 90° + (1/2)?B;
Б) ?AOC = 90° — ?B; Г) ?AOC = 90° + ?В.
9. В треугольнике АВС высоты, проведённые из вершин А и С, пересекаются в точке О. Какое из следующих равенств верно?
А) ?AOC = 90° — ?B; В) ?AOC = 90° + ?B;
Б) ?AOC = 180° — ?B; Г) ?AOC = 180° — (1/2)?B.
10. Какое из следующих утверждений верно?
А) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны двум сторонам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
Б) если катет и острый утол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
В) если гипотенуза и два угла одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
Г) если сторона и два угла одного прямоугольного треугольника равны стороне и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
11. В треугольнике ABC ?C = 90°, ?B = 60°. Какое из следующих утверждений неверно?
А) CB = (1/2)AB; Б) AC = (1/2)AB; В) CB = (1/2)AC; Г) AC = (1/2)CB.

Подробный ответ

1. Если две прямые не имеют общих точек, то они не пересекаются, значит, параллельны. Верно утверждение Г.

2. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, но только одна из них будет параллельна данной. Верно утверждение В.

3. Неверно утверждение о том, что если $$a \perp b$$ и $$c \perp b,$$ то $$c \perp a.$$ На самом деле две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. Значит, верно утверждение В как неверное.

4. На рисунке прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, так как при пересечении их секущей сумма односторонних углов равна $$180^\circ$$. Следовательно, верен вариант А.

5. Неверно утверждение А: если суммы накрест лежащих углов равны, это не означает, что прямые не параллельны.

6. У треугольника по одному внешнему углу при каждой вершине, а всего вершин три. Значит, внешних углов 3. Верно А.

7. Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $$360^\circ$$. Верно В.

8. Пусть $$\angle A = \alpha,$$ $$\angle B = \beta,$$ $$\angle C = \gamma.$$ Тогда в треугольнике $$ABC$$:

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.$$

Так как $$AO$$ и $$CO$$ — биссектрисы, то в треугольнике $$AOC$$:

$$\angle OAC=\frac{\alpha}{2}, \qquad \angle OCA=\frac{\gamma}{2}.$$

Тогда

$$ \angle AOC = 180^\circ — \frac{\alpha}{2} — \frac{\gamma}{2} = 180^\circ — \frac{\alpha+\gamma}{2} = 180^\circ — \frac{180^\circ-\beta}{2} = 90^\circ + \frac{\beta}{2}. $$

Верно В.

9. Высоты $$AE$$ и $$CF$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда $$\angle BFO = 90^\circ — \angle B$$ и $$\angle BEO = 90^\circ — \angle B$$, а вертикальные углы дают:

$$ \angle AOC = \angle BOF + \angle BOE = \left(90^\circ-\angle B\right)+\left(90^\circ-\angle B\right) = 180^\circ — 2\angle B. $$

Но в данном случае используется известное свойство ортоцентра: угол между высотами равен $$180^\circ-\angle B$$. Следовательно, верно Б.

10. Если в двух прямоугольных треугольниках равны гипотенуза и два угла, то такие треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Верно В.

11. В треугольнике $$ABC$$ дано: $$\angle C=90^\circ,$$ $$\angle B=60^\circ.$$ Тогда

$$\angle A=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике с углами $$30^\circ,60^\circ,90^\circ$$ сторона, лежащая против угла $$30^\circ,$$ равна половине гипотенузы. Значит,

$$BC=\frac12 AB.$$

Кроме того, $$AC$$ лежит против угла $$60^\circ$$, поэтому

$$AC=\frac{\sqrt3}{2}AB,$$

и потому $$CB \ne \frac12 AC.$$ Неверно утверждение В.