Упр.79 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Луч, проведённый из вершины прямого угла, делит его на два угла. Докажите, что угол между биссектрисами образовавшихся углов равен $$45^\circ$$.

Рассмотрим угол $$\angle BAC$$. По условию он прямой, значит

$$\angle BAC=90^\circ.$$

Луч $$AE$$ — биссектриса угла $$\angle DAB$$, поэтому

$$\angle DAE=\angle EAB.$$

Луч $$AF$$ — биссектриса угла $$\angle DAC$$, значит

$$\angle DAF=\angle FAC.$$

Тогда весь угол $$\angle BAC$$ можно представить как сумму четырёх равных частей:

$$\angle BAC=\angle BAE+\angle DAE+\angle DAF+\angle FAC,$$

а так как $$\angle BAE=\angle DAE$$ и $$\angle FAC=\angle DAF$$, получаем

$$\angle BAC=2\angle DAE+2\angle DAF.$$

Следовательно,

$$\angle DAE+\angle DAF=\frac{\angle BAC}{2}=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Но угол между биссектрисами $$AE$$ и $$AF$$ равен именно $$\angle EAF=\angle DAE+\angle DAF$$. Значит,

$$\angle EAF=45^\circ.$$

Ответ

$$45^\circ$$