Упр.742 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 742. Через вершину данного угла проведите вне его прямую так, чтобы она образовала со сторонами этого угла равные углы.

Подробный ответ

Пусть дан угол с вершиной $$O$$ и сторонами $$OA$$ и $$OB$$.

Продлим сторону $$OB$$ за точку $$O$$ и получим луч $$OE$$, противоположный лучу $$OB$$.

Построим биссектрису $$OM$$ угла $$AOE$$. Тогда

$$\angle AOM=\angle MOE.$$

Так как лучи $$OB$$ и $$OE$$ — противоположные, то углы $$\angle AOB$$ и $$\angle AOE$$ смежные, значит

$$\angle AOB+\angle AOE=180^\circ.$$

Пусть $$\angle AOE=2x$$. Тогда $$\angle AOM=x$$. Поскольку $$OB$$ и $$OE$$ — противоположные лучи, получаем

$$\angle MOB=180^\circ-\angle MOE=180^\circ-x.$$

Но луч $$OM$$ лежит вне данного угла, и он делит развернутый угол $$BOE$$ так, что углы с его сторонами $$OA$$ и $$OB$$ равны:

$$\angle AOM=\angle MOB.$$

Следовательно, прямая $$OM$$, проходящая через вершину угла, образует с его сторонами равные углы, то есть является искомой.