Упр.741 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 741. Биссектрисы AD и СЕ треугольника АВС пересекаются в точке O_1, биссектрисы EF и DK треугольника DEB пересекаются в точке O_2. Докажите, что точки В, O_1 и O_2 лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник $$ABC$$. Так как $$AD$$ и $$CE$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$, то их пересечение $$O_1$$ является центром вписанной окружности треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$O_1$$ лежит на биссектрисе угла $$B$$, то есть

$$\angle ABO_1=\angle CBO_1.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$EBD$$. Поскольку $$EF$$ и $$DK$$ — биссектрисы углов $$BED$$ и $$BDE$$, их пересечение $$O_2$$ является центром вписанной окружности треугольника $$EBD$$. Значит, $$O_2$$ также лежит на биссектрисе угла $$EBD$$, то есть

$$\angle EBO_2=\angle O_2BD.$$

Но точки $$E$$ и $$D$$ лежат соответственно на сторонах $$BA$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$, поэтому луч $$BO_2$$ является биссектрисой угла $$B$$ треугольника $$ABC$$. А значит, точки $$B$$, $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на одной прямой.