Упр.740 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 740. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, ВС и АС в точках К, М и Е соответственно, АК = ВМ = СЕ. Докажите, что треугольник АВС равносторонний.

Пусть окружность касается сторон $$AB,$$ $$BC$$ и $$AC$$ в точках $$K,$$ $$M$$ и $$E$$ соответственно.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

$$AE=AK,$$ $$BK=BM,$$ $$CM=CE.$$

По условию $$AK=BM=CE,$$ значит

$$AE=AK=BK=BM=CM=CE.$$

Тогда стороны треугольника $$ABC$$ равны:

$$AB=AK+KB=AK+AK=2AK,$$

$$BC=BM+MC=AK+AK=2AK,$$

$$CA=CE+EA=AK+AK=2AK.$$

Следовательно, $$AB=BC=CA,$$ значит треугольник $$ABC$$ равносторонний.

Ответ

$$\triangle ABC$$ равносторонний.