Упр.739 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 739. В треугольнике АВС АВ = ВС, точка O — центр вписанной окружности, точки O и Е — точки касания вписанной окружности со сторонами АС и АВ соответственно, ?АВС = 48°. Найдите ?DOE.

Подробный ответ

Так как $$AB=BC,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит, $$\angle A=\angle C.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle A+48^\circ+\angle A=180^\circ,$$

$$2\angle A=132^\circ,$$

$$\angle A=66^\circ.$$

Точка $$O$$ — центр вписанной окружности, значит, $$AO$$ — биссектриса угла $$A$$. Тогда

$$\angle OAE=\angle OAC=\frac{66^\circ}{2}=33^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOE$$. Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $$OE\perp AB$$, следовательно, $$\angle AEO=90^\circ.$$ Тогда

$$\angle AOE=90^\circ-33^\circ=57^\circ.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$AOD$$ имеем $$OD\perp AC,$$ значит, $$\angle ADO=90^\circ,$$ и

$$\angle AOD=90^\circ-33^\circ=57^\circ.$$

Теперь найдём искомый угол:

$$\angle DOE=\angle AOD+\angle AOE=57^\circ+57^\circ=114^\circ.$$