Упр.738 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 738. Отрезки АВ, АС и ВD соответственно диаметр и хорды окружности, причём AC?ВD. Докажите, что отрезок СD — диаметр окружности.

Обозначим центр окружности через $$O$$. Тогда $$OA=OB=OC=OD$$ как радиусы одной окружности.

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$. Так как $$AB$$ — диаметр, то точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой. Кроме того, по условию $$AC \parallel BD$$, значит углы $$\angle ACO$$ и $$\angle ODB$$ равны как соответственные при параллельных прямых, а углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ — вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда

$$\angle OAC=\angle OBD.$$

Но в треугольнике $$AOC$$ стороны $$OA$$ и $$OC$$ равны, значит он равнобедренный, и

$$\angle OAC=\angle OCA.$$

Аналогично в треугольнике $$BOD$$

$$\angle OBD=\angle ODB.$$

Значит,

$$\angle OCA=\angle ODB.$$

Теперь рассмотрим углы при вершине $$O$$. В треугольнике $$AOC$$ внешний угол $$\angle COB$$ равен сумме внутренних несмежных углов:

$$\angle COB=\angle OAC+\angle OCA=2\angle OAC.$$

В треугольнике $$BOD$$ аналогично

$$\angle BOD=180^\circ-2\angle OAC.$$

Тогда

$$\angle COD=\angle COB+\angle BOD=180^\circ.$$

Следовательно, точки $$C, O, D$$ лежат на одной прямой, а значит, $$CD$$ проходит через центр окружности и является диаметром.

Ответ

$$CD$$ — диаметр окружности.