Упр.737 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 737. Докажите, что хорда окружности, которая перпендикулярна другой хорде этой окружности и проходит через её середину, является диаметром данной окружности.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$COD$$. Так как точки $$C$$ и $$D$$ лежат на окружности с центром $$O$$, то $$OC=OD$$ как радиусы одной окружности. Значит, треугольник $$COD$$ равнобедренный.

По условию $$CE=DE$$, следовательно, точка $$E$$ — середина стороны $$CD$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому $$OE \perp CD$$.

Но по условию $$AB \perp CD$$. Через точку $$E$$ к прямой $$CD$$ проведены две перпендикулярные ей прямые $$OE$$ и $$AB$$. Следовательно, $$OE$$ и $$AB$$ совпадают, то есть точка $$O$$ лежит на прямой $$AB$$.

Так как центр окружности лежит на хорде $$AB$$, то эта хорда проходит через центр окружности и является диаметром.