Упр.736 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. Через точку $$М$$ проведены касательные $$МК$$ и $$МЕ$$ к окружности с центром в точке $$О$$, где $$К$$ и $$Е$$ — точки касания, $$\angle ОМК = 30^\circ$$, $$МК = 6$$ см. Найдите длину хорды $$КЕ$$.

1) Так как $$MK$$ и $$ME$$ — касательные к окружности, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$OK \perp MK,\quad OE \perp ME.$$

Следовательно, $$OE=OK$$ как радиусы одной окружности.

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$MOE$$ и $$MOK$$. У них:

$$MO$$ — общая сторона,

$$OE=OK,$$

значит, $$\triangle MOE \cong \triangle MOK$$ по катету и гипотенузе.

Отсюда

$$\angle OME=\angle OMK=30^\circ,$$

а также

$$ME=MK=6\text{ см}.$$

3) Рассмотрим треугольник $$EMK$$. Так как $$\angle OME=30^\circ$$ и $$\angle OMK=30^\circ,$$ то

$$\angle EMK=\angle OME+\angle OMK=60^\circ.$$

Кроме того, $$ME=MK$$, значит, $$\triangle EMK$$ равнобедренный. Тогда его углы при основании равны:

$$\angle MKE=\angle MEK=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle EMK$$ равносторонний, поэтому

$$KE=MK=6\text{ см}.$$

Ответ

$$6\text{ см}$$