Упр.735 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 735. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает каждую из его сторон в двух точках. Докажите, что отрезки, которые отсекает окружность на сторонах угла, равны.

Пусть окружность с центром $$O$$ пересекает стороны угла с вершиной $$M$$ в точках $$A$$ и $$B$$ на одной стороне и в точках $$C$$ и $$D$$ на другой стороне. Опустим перпендикуляры $$OE \perp AB$$ и $$OF \perp CD$$.

Так как центр окружности лежит на биссектрисе угла $$M$$, то $$MO$$ — биссектриса, значит

$$\angle OME=\angle OMF.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$MOE$$ и $$MOF$$. У них:

$$MO$$ — общая гипотенуза,

$$\angle OME=\angle OMF.$$

Следовательно, $$\triangle MOE \cong \triangle MOF$$ по гипотенузе и острому углу, откуда

$$OE=OF.$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$OEA$$ и $$OEB$$. В них:

$$OA=OB=R$$ — радиусы окружности,

$$OE$$ — общий катет.

Значит, $$\triangle OEA \cong \triangle OEB$$ по гипотенузе и катету, поэтому

$$AE=BE.$$

Аналогично для треугольников $$OFC$$ и $$OFD$$ получаем:

$$OC=OD=R,\quad OF\text{ — общий катет},$$

следовательно, $$\triangle OFC \cong \triangle OFD$$, откуда

$$CF=DF.$$

Тогда

$$AB=AE+EB=2AE,$$

$$CD=CF+DF=2CF.$$

Но из равенства соответствующих треугольников следует, что отрезки на сторонах угла, отсекаемые окружностью, равны, то есть

$$AB=CD.$$

Ответ

$$AB=CD.$$