Упр.733 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 733. Прямая, параллельная хорде АС окружности, касается этой окружности в точке В. Докажите, что ?АВС равнобедренный.

Подробный ответ

Так как прямая $$a$$ касается окружности в точке $$B$$, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

$$OB \perp a.$$

По условию $$AC \parallel a$$, значит, если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Следовательно,

$$OB \perp AC.$$

Точка $$O$$ — центр окружности, поэтому прямая $$OB$$ проходит через центр и перпендикулярна хорде $$AC$$. Тогда она делит хорду пополам:

$$AH = HC.$$

Значит, $$OB$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AC$$. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому

$$BA = BC.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.