Упр.732 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 732. Через точку А к окружности с центром О проведены касательные АМ и АК, М и К — точки касания. Точка пересечения отрезка OА с окружностью является серединой этого отрезка. Найдите ?МАК.

Так как $$AM$$ и $$AK$$ — касательные к окружности с центром $$O$$, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$OM \perp AM,\quad OK \perp AK.$$

Пусть точка пересечения отрезка $$AO$$ с окружностью — это $$E$$. По условию $$AE=EO$$, значит, $$E$$ — середина отрезка $$AO$$. Тогда

$$AO=2EO=2R,$$

где $$R$$ — радиус окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AKO$$. В нём $$OK=R$$, $$AO=2R$$, поэтому

$$\cos \angle KAO=\frac{OK}{AO}=\frac{R}{2R}=\frac12,$$

откуда

$$\angle KAO=60^\circ.$$

Аналогично в прямоугольном треугольнике $$AMO$$:

$$\cos \angle MAO=\frac{OM}{AO}=\frac{R}{2R}=\frac12,$$

значит,

$$\angle MAO=60^\circ.$$

Тогда искомый угол равен сумме этих углов:

$$\angle MAK=\angle MAO+\angle OAK=60^\circ+60^\circ=120^\circ.$$

Ответ

$$120^\circ$$