Упр.727 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 727. Отрезки МК и NP — непараллельные хорды окружности с центром О, МК = NP, точки А и В — середины хорд МК и NP соответственно. Докажите, что ?OAB = ?OBA.

Подробный ответ

1) Так как $$O$$ — центр окружности, то $$OM=ON=OK=OP$$ как радиусы одной окружности.

2) Рассмотрим треугольник $$MOK$$. Он равнобедренный, так как $$OM=OK$$. По условию $$A$$ — середина хорды $$MK$$, значит $$MA=AK$$, то есть $$OA$$ — медиана к основанию $$MK$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, поэтому $$OA\perp MK$$.

3) Аналогично, треугольник $$NOP$$ равнобедренный, так как $$ON=OP$$. Поскольку $$B$$ — середина хорды $$NP$$, имеем $$NB=BP$$, значит $$OB$$ — медиана к основанию $$NP$$. Следовательно, $$OB\perp NP$$.

4) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$MAO$$ и $$NBO$$. У них:

$$OM=ON$$ — гипотенузы,

$$MA=NB$$, так как $$MA=\frac{1}{2}MK$$, $$NB=\frac{1}{2}NP$$ и по условию $$MK=NP$$.

Значит, $$\triangle MAO \cong \triangle NBO$$ по гипотенузе и катету. Отсюда $$OA=OB$$.

5) Следовательно, треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:

$$\angle OAB=\angle OBA$$.

Что и требовалось доказать.