Упр.724 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 724. Найдите утол между прямыми, на которых лежат две медианы равностороннего треугольника.

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ все углы равны $$60^\circ$$. Поэтому медиана $$BK$$, проведённая к стороне $$AC$$, является также высотой, значит $$BK \perp AC$$.

Медиана $$AM$$ в равностороннем треугольнике является ещё и биссектрисой, поэтому

$$\angle MAC=\frac{1}{2}\angle A=30^\circ.$$

Искомый угол — это угол между прямыми $$AM$$ и $$BK$$, то есть $$\angle AOK$$. Так как $$OK \subset BK$$ и $$AK \subset AC$$, то в прямоугольном треугольнике $$AOK$$

$$\angle OAK+\angle AOK=90^\circ.$$

Но $$\angle OAK=\angle MAC=30^\circ$$, следовательно,

$$\angle AOK=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

Ответ

$$60^\circ$$