Упр.723 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. На одной стороне угла $$B$$ отметили точки $$D$$ и $$A$$, а на другой — точки $$E$$ и $$C$$ (рис. 353) так, что $$AC \perp BC$$, $$DE \perp BC$$, $$CD \perp AB$$. Найдите отрезок $$DE$$, если $$\angle B=30^\circ$$, $$AC=12\text{ см}$$.

Рассмотрим прямоугольный $$\triangle BAC$$. Так как $$AC \perp BC$$, то $$\angle ACB=90^\circ$$. По условию $$\angle B=30^\circ$$, значит

$$\angle BAC=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

В прямоугольном $$\triangle ADC$$ угол при вершине $$C$$ равен

$$\angle ACD=90^\circ-\angle CAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Тогда в прямоугольном $$\triangle ADC$$, где $$AC=12$$ см, катет, лежащий напротив угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}.$$

Теперь найдём $$BD$$:

$$BD=BA-AD.$$

В прямоугольном $$\triangle BAC$$ гипотенуза

$$BA=2AC=2\cdot 12=24\text{ см},$$

поэтому

$$BD=24-6=18\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный $$\triangle BDE$$. Так как $$DE \perp BC$$, то $$\angle BED=90^\circ$$, а угол при вершине $$B$$ равен $$30^\circ$$. Значит, в этом треугольнике

$$DE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 18=9\text{ см}.$$

Ответ

$$9\text{ см}$$