Упр.720 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 720. В равностороннем треугольнике АВС из середины М стороны АС опущен перпендикуляр МК на сторону ВС. Найдите периметр треугольника АВС, если КС = 3 см.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$AB=BC=CA$$ и все его углы равны $$60^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$MKC$$. По условию $$MK \perp BC$$, значит $$\angle MKC=90^\circ$$. Кроме того, точка $$K$$ лежит на стороне $$BC$$, поэтому $$\angle MCK=\angle MCB=60^\circ$$.

Тогда в треугольнике $$MKC$$:

$$\angle CMK=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ противолежащий катет равен половине гипотенузы, значит

$$KC=\frac{1}{2}MC.$$

Так как $$KC=3\text{ см}$$, получаем

$$MC=2\cdot 3=6\text{ см}.$$

Точка $$M$$ — середина стороны $$AC$$, следовательно

$$AM=MC=6\text{ см},$$

а значит

$$AC=AM+MC=12\text{ см}.$$

Поскольку треугольник $$ABC$$ равносторонний, то

$$AB=BC=CA=12\text{ см}.$$