Упр.719 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 719. На продолжениях гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС за точки A и В отметили соответственно точки D и Е так, что АС = AD, ВС = BE. Найдите утол DCE.

Рассмотрим треугольник $$DAC$$. По условию $$AC=AD$$, значит, он равнобедренный, поэтому $$\angle ADC=\angle ACD$$.

Угол $$\angle BAC$$ — внешний угол треугольника $$DAC$$, следовательно,

$$\angle ADC+\angle ACD=\angle BAC.$$

Так как $$\angle ADC=\angle ACD$$, получаем

$$2\angle ACD=\angle BAC,$$

откуда

$$\angle DCA=\angle ACD=\frac12\angle A.$$

Аналогично рассмотрим треугольник $$EBC$$. Так как $$BC=BE$$, он равнобедренный, значит, $$\angle BEC=\angle BCE$$.

Угол $$\angle ABC$$ — внешний угол треугольника $$EBC$$, поэтому

$$\angle BEC+\angle BCE=\angle ABC.$$

Так как $$\angle BEC=\angle BCE$$, то

$$2\angle BCE=\angle B,$$

следовательно,

$$\angle BCE=\frac12\angle B.$$

Теперь найдём искомый угол:

$$\angle DCE=\angle DCA+\angle ACB+\angle BCE.$$

Так как $$\angle ACB=\angle C=90^\circ$$, а в прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$\angle A+\angle B=90^\circ,$$

то

$$\angle DCE=\frac12\angle A+90^\circ+\frac12\angle B=\frac12(\angle A+\angle B)+90^\circ.$$

Подставим $$\angle A+\angle B=90^\circ$$:

$$\angle DCE=\frac12\cdot 90^\circ+90^\circ=135^\circ.$$

Ответ

$$135^\circ$$