Упр.718 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 718. Угол между высотой и биссектрисой равнобедренного треугольника, проведенными из одной вершины, равен 15°. Найдите утлы данного треугольника. Сколько решений имеет задача?
Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, причём $$AB=BC$$, тогда $$\angle A=\angle C$$. Проведены высота $$AH$$ и биссектриса $$AD$$ из вершины $$A$$, причём $$\angle DAH=15^\circ$$.
Так как $$AH\perp BC$$, то в прямоугольном треугольнике $$ADH$$ имеем:
$$\angle ADH+\angle DAH=90^\circ,$$
откуда
$$\angle ADH=90^\circ-15^\circ=75^\circ.$$
Далее возможны два случая.
1) Точка $$D$$ лежит на отрезке $$CH$$. Тогда $$\angle ADH$$ — внешний угол треугольника $$ACD$$, поэтому
$$\angle CAD+\angle ACD=\angle ADH.$$
Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то $$\angle CAD=\dfrac{1}{2}\angle A$$, а в равнобедренном треугольнике $$\angle C=\angle A$$. Значит,
$$\frac{1}{2}\angle A+\angle A=75^\circ,$$
$$\frac{3}{2}\angle A=75^\circ,$$
$$\angle A=50^\circ.$$
Тогда
$$\angle C=50^\circ,$$
$$\angle B=180^\circ-50^\circ-50^\circ=80^\circ.$$
2) Точка $$D$$ лежит на отрезке $$BH$$. Тогда $$\angle ADH$$ — внешний угол треугольника $$ABD$$, поэтому
$$\angle BAD+\angle ABD=\angle ADH.$$
Так как $$AD$$ — биссектриса, то $$\angle BAD=\dfrac{1}{2}\angle A$$. Следовательно,
$$\frac{1}{2}\angle A+\angle B=75^\circ.$$
С учётом суммы углов треугольника:
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$
а также $$\angle C=\angle A$$, получаем
$$\angle A+75^\circ-\frac{1}{2}\angle A+\angle A=180^\circ,$$
$$\frac{3}{2}\angle A=105^\circ,$$
$$\angle A=70^\circ.$$
Тогда
$$\angle C=70^\circ,$$
$$\angle B=75^\circ-\frac{1}{2}\cdot 70^\circ=40^\circ.$$
Итак, возможны два набора углов треугольника.
Ответ
$$50^\circ,\ 50^\circ,\ 80^\circ$$ или $$70^\circ,\ 70^\circ,\ 40^\circ$$. Задача имеет $$2$$ решения.
