Упр.717 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ угол $$ACB$$ прямой, $$CH$$ — высота данного треугольника, $$CD$$ — биссектриса треугольника $$BCH$$. Докажите, что $$AC=AD$$.

1) В прямоугольном треугольнике $$CHD$$ имеем:

$$\angle CDH+\angle DCH=90^\circ,$$

откуда

$$\angle CDH=90^\circ-\angle DCH.$$

2) В треугольнике $$CDB$$ угол $$\angle CDH$$ — внешний, поэтому

$$\angle CDH=\angle BCD+\angle CBD.$$

Так как $$CD$$ — биссектриса угла $$BCN$$, а точки $$A, D, B$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle BCD=\angle DCH.$$

Следовательно,

$$90^\circ-\angle DCH=\angle DCH+\angle CBD,$$

откуда

$$\angle CBD=90^\circ-2\angle DCH.$$

3) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$\angle BAC+\angle ABC=90^\circ.$$

Но $$\angle ABC=\angle CBD$$, значит

$$\angle BAC+90^\circ-2\angle DCH=90^\circ,$$

откуда

$$\angle BAC=2\angle DCH.$$

4) Рассмотрим треугольник $$ACD$$:

$$\angle ACD+\angle CAD+\angle CDA=180^\circ.$$

Так как $$\angle ACD=\angle DCH$$, $$\angle CAD=\angle BAC=2\angle DCH$$, а $$\angle CDA=90^\circ-\angle DCH,$$ получаем

$$\angle DCH+2\angle DCH+90^\circ-\angle DCH=180^\circ,$$

откуда

$$\angle ACD=\angle CDA.$$

Следовательно, треугольник $$ACD$$ равнобедренный, значит

$$AC=AD.$$

Ответ

$$AC=AD.$$