Упр.716 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 716. Две высоты равнобедренного треугольника при пересечении образуют угол 100°. Найдите углы данного треугольника.
Обозначим углы равнобедренного треугольника $$\triangle ABC$$ так, что $$AB=BC$$, тогда $$\angle A=\angle C$$.
Пусть $$AM$$, $$BE$$ и $$CK$$ — высоты треугольника, а точка $$O$$ — точка их пересечения.
Рассмотрим сначала угол $$\angle AOC=100^\circ$$.
В прямоугольном треугольнике $$\triangle AKO$$ имеем $$\angle AKO=90^\circ$$, поэтому внешний угол $$\angle AOC$$ равен сумме внутренних несмежных углов:
$$\angle AOC=\angle OAK+\angle AKO$$
$$100^\circ=\angle OAK+90^\circ$$
$$\angle OAK=10^\circ$$
В треугольнике $$AOC$$:
$$\angle AOC+\angle OAC+\angle OCA=180^\circ$$
$$100^\circ+\angle OAC+\angle OCA=180^\circ$$
Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то высота $$AM$$ является также биссектрисой, значит
$$\angle OAC=\angle OCA$$
Тогда
$$2\angle OAC=80^\circ$$
$$\angle OAC=40^\circ$$
Следовательно,
$$\angle A=\angle OAK+\angle OAC=10^\circ+40^\circ=50^\circ$$
Значит,
$$\angle C=50^\circ$$
Теперь найдём угол $$B$$:
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$
$$50^\circ+\angle B+50^\circ=180^\circ$$
$$\angle B=80^\circ$$
Проверим по условию второй угол пересечения высот $$\angle AOB=100^\circ$$.
В прямоугольном треугольнике $$\triangle BMO$$:
$$\angle AOB=\angle OBM+\angle BMO$$
$$100^\circ=\angle OBM+90^\circ$$
$$\angle OBM=10^\circ$$
Так как $$BE$$ — высота и биссектриса равнобедренного треугольника, то
$$\angle B=2\angle EBC=20^\circ$$
Тогда
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$
$$\angle A+20^\circ+\angle A=180^\circ$$
$$2\angle A=160^\circ$$
$$\angle A=80^\circ$$
Следовательно,
$$\angle C=80^\circ$$
и
$$\angle B=20^\circ$$
Таким образом, возможны два набора углов треугольника:
$$50^\circ,\ 50^\circ,\ 80^\circ$$ или $$80^\circ,\ 80^\circ,\ 20^\circ$$.
Ответ
$$50^\circ,\ 50^\circ,\ 80^\circ$$ или $$80^\circ,\ 80^\circ,\ 20^\circ$$.
