Упр.715 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 715. Высоты АМ и СК треугольника АВС пересекаются в точке О, ОК = ОМ, ?ВАМ = ?АСК. Докажите, что треугольник АВС равносторонний.

Рассмотрим треугольники $$AKO$$ и $$CMO$$. У них

$$\angle AOK=\angle COM$$ — вертикальные,

$$\angle AKO=\angle CMO=90^\circ$$, так как $$AM$$ и $$CK$$ — высоты.

Следовательно, $$\triangle AKO=\triangle CMO$$ по катету и острому углу. Отсюда

$$AO=CO.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AKC$$ и $$CMA$$. Имеем

$$CK=CO+OK=AO+OM=AM,$$

так как $$OK=OM$$ по условию и $$AO=CO$$.

Кроме того, $$AC$$ — общая сторона, а

$$\angle AKC=\angle CMA=90^\circ.$$

Значит, $$\triangle AKC=\triangle CMA$$ по катету и гипотенузе. Тогда

$$\angle KAC=\angle MCA.$$

Но по условию $$\angle BAM=\angle ACK$$. Так как $$K\in AB$$ и $$M\in BC$$, то

$$\angle BAM=\angle BAC,\qquad \angle ACK=\angle ACB.$$

Следовательно,

$$\angle BAC=\angle ACB.$$

Значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный, поэтому

$$AB=BC.$$

Из равенства треугольников $$AKC$$ и $$CMA$$ также получаем равенство соответствующих углов при основании, а значит

$$\angle KAC=\angle MCA.$$

Тогда

$$\angle BAC=\angle KAC+\angle BAM,$$

$$\angle ACB=\angle MCA+\angle ACK.$$

Так как $$\angle BAM=\angle ACK$$ и $$\angle KAC=\angle MCA,$$ то

$$\angle BAC=\angle ACB=\angle CBA.$$

Следовательно, все углы треугольника $$ABC$$ равны, значит, он равносторонний.

Ответ

$$\triangle ABC$$ равносторонний.