Упр.713 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 713. Из вершины прямого угла треугольника опустили высоту на гипотенузу. Докажите, что два треугольника, образовавшиеся при этом, и данный треугольник имеют соответственно равные острые углы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle ACB$$, где $$\angle C=90^\circ$$. Из вершины $$C$$ опущена высота $$CH$$ на гипотенузу $$AB$$, значит $$CH\perp AB$$.

Тогда в треугольнике $$\triangle AHC$$ угол $$\angle AHC=90^\circ$$, а в треугольнике $$\triangle BHC$$ угол $$\angle BHC=90^\circ$$.

1) В прямоугольном $$\triangle AHC$$:

$$\angle ACH+\angle CAH=90^\circ.$$

Так как точка $$H$$ лежит на прямой $$AB$$, то $$\angle CAH=\angle A$$. Следовательно,

$$\angle ACH=90^\circ-\angle A.$$

2) В прямоугольном $$\triangle BHC$$:

$$\angle BCH+\angle CBH=90^\circ.$$

Так как $$H\in AB$$, то $$\angle CBH=\angle B$$. Значит,

$$\angle BCH=90^\circ-\angle B.$$

3) В прямоугольном $$\triangle ACB$$:

$$\angle A+\angle B=90^\circ,$$

откуда

$$\angle A=90^\circ-\angle B,\qquad \angle B=90^\circ-\angle A.$$

Подставим это в полученные выражения:

$$\angle ACH=90^\circ-(90^\circ-\angle B)=\angle B,$$

$$\angle BCH=90^\circ-(90^\circ-\angle A)=\angle A.$$

Итак, острые углы треугольников $$\triangle AHC$$, $$\triangle BHC$$ и $$\triangle ACB$$ соответственно равны:

$$\angle ACH=\angle B,\qquad \angle BCH=\angle A.$$

Следовательно, два треугольника, образовавшиеся при проведении высоты, и данный треугольник имеют соответственно равные острые углы.

Ответ

$$\triangle AHC \sim \triangle BHC \sim \triangle ACB,$$ их острые углы соответственно равны.