Упр.712 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 712. На гипотенузе АВ прямоугольного равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что АС = АМ и ВС = ВК. Найдите ?MCK.

Так как $$\triangle ABC$$ — прямоугольный равнобедренный, то $$\angle A=\angle B$$. При этом $$\angle C=90^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B=90^\circ,$$

откуда

$$2\angle A=90^\circ,\qquad \angle A=\angle B=45^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$CBK$$. По условию $$BC=BK$$, значит он равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle BCK=\angle BKC.$$

Сумма углов треугольника $$CBK$$ равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle BCK+\angle BKC+\angle CBK=180^\circ.$$

Так как точки $$A, K, M, B$$ лежат на одной прямой, то $$\angle CBK=\angle CBA=45^\circ$$. Тогда

$$\angle BKC+\angle BKC+45^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle BKC=135^\circ,$$

$$\angle BKC=67{,}5^\circ.$$

Аналогично рассмотрим треугольник $$CAM$$. По условию $$AC=AM$$, значит он равнобедренный, и

$$\angle ACM=\angle AMC.$$

Сумма углов треугольника $$CAM$$:

$$\angle ACM+\angle AMC+\angle CAM=180^\circ.$$

Так как $$\angle CAM=\angle CAB=45^\circ$$, получаем

$$\angle ACM+\angle AMC+45^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle AMC=135^\circ,$$

$$\angle AMC=67{,}5^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CKM$$. В нём

$$\angle CKM=67{,}5^\circ,\qquad \angle CMK=67{,}5^\circ.$$

Тогда

$$\angle CKM+\angle CMK+\angle MCK=180^\circ,$$

$$67{,}5^\circ+67{,}5^\circ+\angle MCK=180^\circ,$$

$$\angle MCK=45^\circ.$$

Ответ

$$45^\circ$$