Упр.711 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 711. Угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины его прямого угла, равен 12°. Найдите острые углы данного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$. Проведены биссектриса $$CD$$ и высота $$CH$$, причём $$\angle HCD=12^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$CHD$$ сумма острых углов равна $$90^\circ$$, значит

$$\angle DCH+\angle CDH=90^\circ.$$

Так как $$\angle DCH=\angle HCD=12^\circ$$, получаем

$$\angle CDH=90^\circ-12^\circ=78^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CDB$$. Поскольку $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$, то

$$\angle DCB=\frac{1}{2}\angle C=45^\circ.$$

Угол $$\angle CDH$$ является внешним углом треугольника $$CDB$$, поэтому

$$\angle CDH=\angle DCB+\angle DBC.$$

Тогда

$$78^\circ=45^\circ+\angle DBC,$$

откуда

$$\angle DBC=33^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$\angle A+\angle B=90^\circ.$$

Так как $$\angle B=\angle DBC=33^\circ$$, то

$$\angle A=90^\circ-33^\circ=57^\circ.$$

Ответ

$$57^\circ,\ 33^\circ$$