Упр.710 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. Высоты $$BM$$ и $$CK$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$H$$, $$\angle ABC=35^\circ$$, $$\angle ACB=83^\circ$$. Найдите $$\angle BHC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BMC$$. Так как $$BM$$ — высота, то $$BM \perp AC$$, значит $$\angle BMC = 90^\circ$$. Тогда

$$\angle CBM + \angle BCM = 90^\circ.$$

Поскольку $$\angle ACB = 83^\circ$$, а точка $$M$$ лежит на стороне $$AC$$, то $$\angle BCM = 83^\circ$$. Следовательно,

$$\angle CBM = 90^\circ — 83^\circ = 7^\circ.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CKB$$. Так как $$CK$$ — высота, то $$CK \perp AB$$, значит $$\angle CKB = 90^\circ$$. Тогда

$$\angle BCK + \angle CBK = 90^\circ.$$

Поскольку $$\angle ABC = 35^\circ$$, а точка $$K$$ лежит на стороне $$AB$$, то $$\angle CBK = 35^\circ$$. Следовательно,

$$\angle BCK = 90^\circ — 35^\circ = 55^\circ.$$

В треугольнике $$BHC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle CBH + \angle BHC + \angle BCH = 180^\circ.$$

Подставим найденные значения:

$$7^\circ + \angle BHC + 55^\circ = 180^\circ,$$

откуда

$$\angle BHC = 180^\circ — 62^\circ = 118^\circ.$$

Ответ

$$118^\circ$$