Упр.709 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 709. На рисунке 352 АВ = ВС = CD = DE, BF?AC, DK?СЕ. Докажите, что AF = EK.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ACE$$. Так как $$AB=BC=CD=DE$$, то

$$AC=AB+BC=CD+DE=CE.$$

Следовательно, треугольник $$ACE$$ равнобедренный, значит

$$\angle CAE=\angle CEA.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABK$$ и $$EDF$$. По условию $$BF\perp AC$$ и $$DK\perp CE$$, поэтому

$$\angle ABK=\angle EDF=90^\circ.$$

Кроме того, так как $$AK$$ и $$EF$$ лежат на прямой $$AE$$, а $$AB$$ и $$DE$$ лежат на одной прямой $$ACE$$, то

$$\angle BAK=\angle DEF.$$

Значит, $$\triangle ABK \cong \triangle EDF$$ по катету и прилежащему углу. Отсюда

$$AK=EF.$$

Теперь заметим, что точки $$F$$ и $$K$$ лежат на отрезке $$AE$$, поэтому