Упр.706 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 706. Высоты AD и СМ равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) пересекаются в точке Н, ?АНС = 140°. Найдите углы треугольника АВС.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный и $$AB=BC$$, то его углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$CDA$$. У них:

$$AC$$ — общая сторона,

$$\angle AMC=\angle CDA=90^\circ$$, так как $$CM$$ и $$AD$$ — высоты.

Следовательно, $$\triangle AMC \cong \triangle CDA$$ по гипотенузе и острому углу, значит

$$\angle MAC=\angle MCA.$$

Обозначим $$\angle MAC=x$$. Тогда $$\angle MCA=x$$, и в треугольнике $$AHC$$:

$$\angle AHC+\angle HAC+\angle HCA=180^\circ,$$

$$140^\circ+x+x=180^\circ,$$

$$2x=40^\circ,$$

$$x=20^\circ.$$

Значит, $$\angle HAC=20^\circ.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMH$$. В нём $$\angle AMH=90^\circ$$, поэтому

$$\angle AHC=\angle AMH+\angle HAM,$$

$$140^\circ=90^\circ+\angle HAM,$$

$$\angle HAM=50^\circ.$$

Тогда угол при вершине $$A$$ равен

$$\angle A=\angle HAM+\angle HAC=50^\circ+20^\circ=70^\circ.$$

Так как треугольник равнобедренный, то

$$\angle C=\angle A=70^\circ.$$

Найдём угол $$B$$:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$70^\circ+\angle B+70^\circ=180^\circ,$$

$$\angle B=40^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=70^\circ,\ \angle B=40^\circ,\ \angle C=70^\circ.$$