Упр.705 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 705. Высоты AD и ВК равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) пересекаются в точке Н, ?АНВ = 128°. Найдите углы треугольника АВС.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BDH$$. Так как $$AD$$ и $$BK$$ — высоты, то $$DH \perp BC$$ и $$BH \perp AC$$. Следовательно, $$\angle BDH = 90^\circ$$.

Угол $$\angle AHB$$ — внешний угол треугольника $$BDH$$, поэтому

$$\angle AHB=\angle HBD+\angle BDH.$$

Тогда

$$128^\circ=\angle HBD+90^\circ,$$

откуда

$$\angle HBD=38^\circ.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BKC$$. В нём

$$\angle CBK+\angle BCK=90^\circ.$$

Так как $$\angle CBK=\angle HBD=38^\circ,$$ то

$$38^\circ+\angle C=90^\circ,$$

следовательно,

$$\angle C=52^\circ.$$

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит, его углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C=52^\circ.$$

Тогда

$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-52^\circ-52^\circ=76^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=52^\circ,\ \angle B=76^\circ,\ \angle C=52^\circ.$$