Упр.703 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 703. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает его стороны АВ и ВС в точках М и К соответственно так, что АМ = МК. Известно, что ?В = 65°, ?С = 45°. Найдите угол КАС.

Так как $$MK \parallel AC$$, то при секущей $$BC$$ получаем равенство соответственных углов:

$$\angle BKM=\angle BCA=45^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$MBK$$. В нём:

$$\angle BMK+\angle MBK+\angle BKM=180^\circ,$$

то есть

$$\angle BMK+65^\circ+45^\circ=180^\circ,$$

откуда

$$\angle BMK=70^\circ.$$

По условию $$AM=MK$$, значит треугольник $$AMK$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle MAK=\angle MKA.$$

Угол $$\angle BMK$$ — внешний угол треугольника $$AMK$$, поэтому

$$\angle BMK=\angle MAK+\angle MKA.$$

Так как $$\angle MAK=\angle MKA$$, получаем:

$$70^\circ=2\angle MKA,$$

$$\angle MKA=35^\circ.$$

Поскольку $$MK \parallel AC$$, то при секущей $$AK$$ углы $$\angle MKA$$ и $$\angle KAC$$ равны как накрест лежащие:

$$\angle KAC=\angle MKA=35^\circ.$$

Ответ

$$35^\circ$$