Упр.702 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 702. На продолжениях стороны АС треугольника АВС за точки А и С отметили соответственно точки М и К так, что АМ = АВ, СК = ВС. Найдите углы треугольника МВК, если ?BAC = 60°, ?АСВ = 80°.

Рассмотрим треугольник $$MAB$$. По условию $$AM=AB$$, значит, он равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle BMA=\angle MBA.$$

Угол $$\angle BAC$$ — внешний для треугольника $$MAB$$, поэтому

$$\angle BAC=\angle BMA+\angle MBA.$$

Тогда

$$60^\circ=\angle BMA+\angle BMA,$$

откуда

$$2\angle BMA=60^\circ,\qquad \angle BMA=30^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BCK$$. Так как $$CK=BC$$, он равнобедренный, значит

$$\angle BKC=\angle KBC.$$

Угол $$\angle BCA$$ — внешний для треугольника $$BCK$$, поэтому

$$\angle BCA=\angle BKC+\angle KBC.$$

Следовательно,

$$80^\circ=\angle BKC+\angle BKC,$$

откуда

$$2\angle BKC=80^\circ,\qquad \angle BKC=40^\circ.$$

Найдём угол треугольника $$MBK$$:

$$\angle BMK+\angle BKM+\angle MBK=180^\circ.$$

Подставим найденные значения:

$$30^\circ+40^\circ+\angle MBK=180^\circ,$$

$$\angle MBK=110^\circ.$$

Ответ

$$\angle M=30^\circ,\ \angle K=40^\circ,\ \angle MBK=110^\circ.$$