Упр.702 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)
На продолжениях стороны $$AC$$ треугольника $$ABC$$ за точки $$A$$ и $$C$$ отметили соответственно точки $$M$$ и $$K$$ так, что $$AM=AB$$, $$CK=BC$$. Найдите углы треугольника $$MBK$$, если $$\angle BAC=60^\circ$$, $$\angle ACB=80^\circ$$.
Рассмотрим треугольник $$MAB$$. По условию $$AM=AB$$, значит, он равнобедренный, и его углы при основании равны:
$$\angle BMA=\angle MBA.$$
Угол $$\angle BAC$$ — внешний для треугольника $$MAB$$, поэтому
$$\angle BAC=\angle BMA+\angle MBA.$$
Тогда
$$60^\circ=\angle BMA+\angle BMA,$$
откуда
$$2\angle BMA=60^\circ,\qquad \angle BMA=30^\circ.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$BCK$$. Так как $$CK=BC$$, он равнобедренный, значит
$$\angle BKC=\angle KBC.$$
Угол $$\angle BCA$$ — внешний для треугольника $$BCK$$, поэтому
$$\angle BCA=\angle BKC+\angle KBC.$$
Следовательно,
$$80^\circ=\angle BKC+\angle BKC,$$
откуда
$$2\angle BKC=80^\circ,\qquad \angle BKC=40^\circ.$$
Найдём угол треугольника $$MBK$$:
$$\angle BMK+\angle BKM+\angle MBK=180^\circ.$$
Подставим найденные значения:
$$30^\circ+40^\circ+\angle MBK=180^\circ,$$
$$\angle MBK=110^\circ.$$
Ответ
$$\angle M=30^\circ,\ \angle K=40^\circ,\ \angle MBK=110^\circ.$$
