Упр.700 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 700. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, в 2 раза меньше этого основания. Найдите углы данного треугольника.

Пусть $$CH$$ — высота равнобедренного треугольника $$ABC$$, проведённая к основанию $$AB$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то высота, проведённая к основанию, является также медианой. Значит,

$$AH=HB=\frac{1}{2}AB.$$

По условию $$CH=\frac{1}{2}AB$$, следовательно,

$$AH=CH.$$

Тогда треугольник $$AHC$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle CAH=\angle ACH.$$

Но $$\angle AHC=90^\circ$$, так как $$CH$$ — высота. Поэтому

$$\angle CAH+\angle ACH+90^\circ=180^\circ.$$

Так как $$\angle CAH=\angle ACH$$, получаем:

$$2\angle CAH+90^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle CAH=90^\circ,$$

$$\angle CAH=45^\circ.$$

Следовательно, $$\angle A=45^\circ$$. В равнобедренном треугольнике $$\angle A=\angle B$$, значит

$$\angle B=45^\circ.$$

Тогда третий угол:

$$\angle C=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.$$

Ответ

$$45^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ$$