Упр.70 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

На рисунке 73 $$\angle AOC=\angle COD=\angle DOF$$, луч $$OB$$ — биссектриса угла $$AOC$$, луч $$OE$$ — биссектриса угла $$DOF$$, $$\angle BOE=72^\circ$$. Найдите $$\angle AOF$$.

Обозначим $$\angle AOC = x$$. По условию $$\angle AOC = \angle COD = \angle DOF$$, значит

$$\angle AOF = \angle AOC + \angle COD + \angle DOF = x+x+x=3x.$$

Так как $$OB$$ — биссектриса угла $$AOC$$, то

$$\angle BOC=\frac{x}{2}.$$

Так как $$OE$$ — биссектриса угла $$DOF$$, то

$$\angle DOE=\frac{x}{2}.$$

Теперь рассмотрим угол $$BOE$$:

$$\angle BOE=\angle BOC+\angle COD+\angle DOE.$$

Подставим известные значения:

$$72^\circ=\frac{x}{2}+x+\frac{x}{2}=2x.$$

Отсюда

$$x=36^\circ.$$

Тогда

$$\angle AOF=3x=3\cdot 36^\circ=108^\circ.$$

Ответ

$$108^\circ$$