Упр.699 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 699. На стороне BC треугольника АВС отметили точки М и К (точка М лежит между точками В и К) так, что ?КАС = ?В, ?В АМ = ?С. Докажите, что ?MAK равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $$AKC$$. Тогда

$$\angle AKC+\angle KAC+\angle KCA=180^\circ,$$

откуда

$$\angle AKC=180^\circ-\angle KAC-\angle KCA.$$

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. Для него

$$\angle ABM+\angle BMA+\angle BAM=180^\circ,$$

значит

$$\angle BMA=180^\circ-\angle ABM-\angle BAM.$$

Так как точки $$M$$ и $$K$$ лежат на стороне $$BC$$, то лучи $$BM$$ и $$BK$$ совпадают, а лучи $$CK$$ и $$CB$$ совпадают. Поэтому

$$\angle ABM=\angle ABC=\angle B,$$

$$\angle KCA=\angle BCA=\angle C.$$

По условию $$\angle KAC=\angle B$$ и $$\angle BAM=\angle C$$, следовательно

$$\angle BMA=180^\circ-\angle KAC-\angle KCA.$$

Сравнивая с выражением для $$\angle AKC$$, получаем

$$\angle BMA=\angle AKC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AMK$$. В нём

$$\angle AMK=180^\circ-\angle BMA=180^\circ-\angle AKC=\angle AKM.$$

Значит, в треугольнике $$AMK$$ равны углы при вершинах $$M$$ и $$K$$, поэтому он равнобедренный:

$$AM=AK.$$

Ответ

$$\triangle MAK$$ равнобедренный, так как $$AM=AK$$.