Упр.695 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

1) биссектрисы накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, параллельны;
2) биссектрисы односторонних утлов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, перпендикулярны.

Подробный ответ

1) Пусть прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, а секущая $$AD$$ образует накрест лежащие углы $$\angle BAD$$ и $$\angle CDA$$. Тогда

$$\angle BAD=\angle CDA.$$

Так как $$AE$$ и $$DF$$ — биссектрисы этих углов, то

$$\angle DAE=\frac{1}{2}\angle BAD,\qquad \angle ADF=\frac{1}{2}\angle CDA.$$

Из равенства углов $$\angle BAD$$ и $$\angle CDA$$ получаем

$$\angle DAE=\angle ADF.$$

Следовательно, прямые $$AE$$ и $$DF$$ параллельны.

2) Теперь рассмотрим односторонние углы $$\angle PAD$$ и $$\angle CDA$$, образованные при пересечении параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ секущей $$AD$$. Для них

$$\angle PAD+\angle CDA=180^\circ.$$

Так как $$AF$$ и $$DF$$ — биссектрисы этих углов, то

$$\angle FAD=\frac{1}{2}\angle PAD,\qquad \angle FDA=\frac{1}{2}\angle CDA.$$

Рассмотрим треугольник $$AFD$$:

$$\angle FAD+\angle AFD+\angle FDA=180^\circ.$$

Подставим выражения для углов:

$$\frac{1}{2}\angle PAD+\angle AFD+\frac{1}{2}\angle CDA=180^\circ.$$

Умножим равенство на $$2$$:

$$\angle PAD+2\angle AFD+\angle CDA=360^\circ.$$

Так как $$\angle PAD+\angle CDA=180^\circ$$, то

$$180^\circ+2\angle AFD=360^\circ,$$

откуда