Упр.692 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ медианы $$AM$$ и $$A_1M_1$$ равны, $$AB=A_1B_1$$, $$BC=B_1C_1$$. Докажите, что $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$.

1) Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$.

Так как $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы, то $$M$$ и $$M_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$B_1C_1$$. Значит,

$$BM=\frac{1}{2}BC,\qquad B_1M_1=\frac{1}{2}B_1C_1.$$

По условию $$BC=B_1C_1$$, следовательно, $$BM=B_1M_1$$.

Кроме того, $$AB=A_1B_1$$ и $$AM=A_1M_1$$. Тогда

$$\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$$

по третьему признаку равенства треугольников.

Отсюда

$$\angle ABM=\angle A_1B_1M_1.$$

2) Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Имеем:

$$AB=A_1B_1,$$

$$BC=B_1C_1,$$

$$\angle ABC=\angle A_1B_1C_1.$$

Следовательно,

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$

по первому признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.