Упр.690 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отметили точки $$F$$ и $$K$$ соответственно. Докажите, что если треугольники $$AFB$$ и $$AKB$$ равны и стороны $$AK$$ и $$BF$$ соответственные, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $$AFB$$ и $$AKB$$. По условию $$\triangle AFB = \triangle AKB$$, причём $$AK = BF$$ — соответственные стороны этих равных треугольников.

Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle FAB = \angle KBA.$$

Так как точки $$F$$ и $$K$$ лежат соответственно на сторонах $$AC$$ и $$BC$$, то лучи $$AF$$ и $$AC$$ совпадают, а лучи $$BK$$ и $$BC$$ совпадают. Значит,

$$\angle FAB = \angle CAB,\qquad \angle KBA = \angle CBA.$$

Следовательно,

$$\angle CAB = \angle CBA.$$

В треугольнике $$ABC$$ равны углы при основании, значит, он равнобедренный:

$$AC = BC.$$

Ответ

$$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$AC = BC$$.