Упр.687 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 687. Точка О — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон АС и ВС треугольника АВС — принадлежит его стороне АВ. Докажите, что: 1) точка О — середина отрезка АВ; 2) ?ACB = ?А + ?В.

Рассмотрим треугольник $$AOC$$. Так как $$OE \perp AC$$ и $$AE=EC$$, то прямая $$OE$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AC$$. Значит, точка $$O$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$C$$, то есть

$$AO=OC.$$

Аналогично, в треугольнике $$COB$$ имеем $$OF \perp BC$$ и $$BF=FC$$, следовательно, $$OF$$ — серединный перпендикуляр к отрезку $$BC$$. Тогда

$$OC=OB.$$

Из равенств $$AO=OC$$ и $$OC=OB$$ получаем

$$AO=OB.$$

Так как точка $$O$$ лежит на стороне $$AB$$ и равноудалена от концов отрезка $$AB$$, то $$O$$ — середина отрезка $$AB$$.

Теперь докажем второе утверждение. Поскольку точка $$O$$ лежит внутри угла $$ACB$$, то

$$\angle ACB=\angle OCA+\angle OCB.$$

В треугольнике $$AOC$$ он равнобедренный, так как $$AO=OC$$, значит, его углы при основании равны:

$$\angle OCA=\angle OAC.$$

В треугольнике $$COB$$ он также равнобедренный, так как $$OC=OB$$, поэтому

$$\angle OCB=\angle OBC.$$

Тогда

$$\angle ACB=\angle OAC+\angle OBC.$$

Но $$\angle OAC=\angle A$$, а $$\angle OBC=\angle B$$, следовательно,

$$\angle ACB=\angle A+\angle B.$$

Ответ

1) $$O$$ — середина отрезка $$AB$$; 2) $$\angle ACB=\angle A+\angle B$$.