Упр.684 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 684. Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС. Докажите, что прямая BD — серединный перпендикуляр отрезка АС.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$BAD$$ и $$BCD$$. У них:

$$BD$$ — общая сторона;
$$AB=BC$$, так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный;
$$AD=DC$$, так как $$\triangle ADC$$ равнобедренный.

Следовательно, $$\triangle BAD \cong \triangle BCD$$ по третьему признаку равенства треугольников. Тогда

$$\angle ABD=\angle DBC,$$

то есть прямая $$BD$$ — биссектриса угла $$ABC$$.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является одновременно медианой и высотой. Значит, для точки $$E=BD\cap AC$$ имеем:

$$AE=EC,$$

$$BD\perp AC.$$

Итак, прямая $$BD$$ является серединным перпендикуляром отрезка $$AC$$.