Упр.683 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 683. На рисунке 348 АВ = ВС, AD = FC, ?ADE = ?CFE. Докажите, что точка Е — середина отрезка АС.

Подробный ответ

1) Так как $$AB=BC,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит, $$\angle A=\angle C.$$

2) Точки $$D$$ и $$F$$ лежат на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ соответственно, поэтому лучи $$AD$$ и $$AB$$ совпадают, а лучи $$CF$$ и $$CB$$ совпадают. Следовательно,

$$\angle DAE=\angle A,\qquad \angle FCE=\angle C.$$

Из равенства углов $$\angle A=\angle C$$ получаем

$$\angle DAE=\angle FCE.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ADE$$ и $$CFE$$. По условию $$AD=FC,$$ а также $$\angle ADE=\angle CFE.$$ Кроме того, $$\angle DAE=\angle FCE.$$ Значит,

$$\triangle ADE \cong \triangle CFE$$

по второму признаку равенства треугольников.

Отсюда следует, что

$$AE=CE.$$

Так как точка $$E$$ лежит на отрезке $$AC$$ и $$AE=CE,$$ то $$E$$ — середина отрезка $$AC.$$