Упр.683 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. На рисунке 348 $$AB=BC$$, $$AD=FC$$, $$\angle ADE=\angle CFE$$. Докажите, что точка $$E$$ — середина отрезка $$AC$$.

1) Так как $$AB=BC,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит, $$\angle A=\angle C.$$

2) Точки $$D$$ и $$F$$ лежат на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ соответственно, поэтому лучи $$AD$$ и $$AB$$ совпадают, а лучи $$CF$$ и $$CB$$ совпадают. Следовательно,

$$\angle DAE=\angle A,\qquad \angle FCE=\angle C.$$

Из равенства углов $$\angle A=\angle C$$ получаем

$$\angle DAE=\angle FCE.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ADE$$ и $$CFE$$. По условию $$AD=FC,$$ а также $$\angle ADE=\angle CFE.$$ Кроме того, $$\angle DAE=\angle FCE.$$ Значит,

$$\triangle ADE \cong \triangle CFE$$

по второму признаку равенства треугольников.

Отсюда следует, что

$$AE=CE.$$

Так как точка $$E$$ лежит на отрезке $$AC$$ и $$AE=CE,$$ то $$E$$ — середина отрезка $$AC.$$

Ответ

$$E$$ — середина отрезка $$AC.$$