Упр.680 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

В треугольниках $$ABC$$ и $$DEF$$ $$AC=DF$$, $$BC=EF$$, $$\angle C=\angle F$$. Биссектрисы углов $$BAC$$ и $$ABC$$ пересекаются в точке $$O$$, а биссектрисы углов $$DEF$$ и $$EDF$$ — в точке $$M$$. Докажите, что $$\angle AOB=\angle DME$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$DEF$$. По условию $$AC=DF$$, $$BC=EF$$, $$\angle C=\angle F$$. Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем:

$$AB=DE,$$

$$\angle A=\angle D,$$

$$\angle B=\angle E.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$DME$$.

Так как $$AO$$ и $$BO$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$, то

$$\angle BAO=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle ABO=\frac{1}{2}\angle B.$$

А так как $$DM$$ и $$EM$$ — биссектрисы углов $$D$$ и $$E$$, то

$$\angle EDM=\frac{1}{2}\angle D,\qquad \angle DEM=\frac{1}{2}\angle E.$$

Поскольку $$\angle A=\angle D$$ и $$\angle B=\angle E$$, имеем

$$\angle BAO=\angle EDM,$$

$$\angle ABO=\angle DEM.$$

Кроме того, $$AB=DE$$. Значит, $$\triangle AOB \cong \triangle DME$$ по второму признаку равенства треугольников.

Следовательно, $$\angle AOB=\angle DME$$, что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle AOB=\angle DME.$$