Упр.678 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)
- В остроугольных треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ проведены высоты $$BD$$ и $$B_1D_1$$ соответственно. Докажите, что $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$, если $$BD=B_1D_1$$, $$AD=A_1D_1$$, $$CD=C_1D_1$$.
Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$. Так как $$BD$$ и $$B_1D_1$$ — высоты, то $$\angle ADB=\angle A_1D_1B_1=90^\circ$$. По условию $$BD=B_1D_1$$ и $$AD=A_1D_1$$, значит, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Следовательно,
$$AB=A_1B_1.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$CBD$$ и $$C_1B_1D_1$$. Они тоже прямоугольные, так как $$\angle CDB=\angle C_1D_1B_1=90^\circ$$. По условию $$BD=B_1D_1$$ и $$CD=C_1D_1$$, значит,
$$BC=B_1C_1.$$
Осталось сравнить основания:
$$AC=AD+DC=A_1D_1+D_1C_1=A_1C_1.$$
Итак, у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны все три стороны:
$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$
Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по третьему признаку равенства треугольников.
Ответ
$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$
