Упр.678 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 678. В остроугольных треугольниках АВС и (A_1 B_1 C_1) проведены высоты BD и (B_1 D_1) соответственно. Докажите, что ?ABC = ?(A_1 B_1 C_1), если BD = (B_1 D_1), AD = (A_1 D_1), CD = (C_1 D_1).

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$. Так как $$BD$$ и $$B_1D_1$$ — высоты, то $$\angle ADB=\angle A_1D_1B_1=90^\circ$$. По условию $$BD=B_1D_1$$ и $$AD=A_1D_1$$, значит, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Следовательно,

$$AB=A_1B_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$CBD$$ и $$C_1B_1D_1$$. Они тоже прямоугольные, так как $$\angle CDB=\angle C_1D_1B_1=90^\circ$$. По условию $$BD=B_1D_1$$ и $$CD=C_1D_1$$, значит,

$$BC=B_1C_1.$$

Осталось сравнить основания:

$$AC=AD+DC=A_1D_1+D_1C_1=A_1C_1.$$

Итак, у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны все три стороны:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по третьему признаку равенства треугольников.