Упр.677 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 677. В треугольниках АВС и DEF проведены медианы ВМ и ЕК соответственно. Известно, что ВС = EF, ?ABC = ?DEF, ?С = ?F. Докажите, что: 1) ?ВМС = ?EFK. 2) ?AВМ = ?DEK.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$DEF$$. По условию $$BC=EF$$, $$\angle ABC=\angle DEF$$, $$\angle C=\angle F$$. Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$ по второму признаку равенства треугольников.

Отсюда следует, что $$AB=DE$$, $$AC=DF$$, $$\angle A=\angle D$$.

1) Так как $$BM$$ и $$EK$$ — медианы, то $$M$$ и $$K$$ — середины сторон $$AC$$ и $$DF$$ соответственно. Поэтому

$$MC=\frac{1}{2}AC,\qquad KF=\frac{1}{2}DF.$$

Но $$AC=DF$$, значит $$MC=KF$$.

Кроме того, точки $$M$$ и $$K$$ лежат на прямых $$AC$$ и $$DF$$, поэтому

$$\angle BCM=\angle EFK$$

как углы, равные соответственно углам $$\angle BCA$$ и $$\angle EFD$$, а они равны, так как $$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$.

Следовательно, в треугольниках $$BMC$$ и $$EFK$$ имеем:

$$BC=EF,\quad MC=KF,\quad \angle BCM=\angle EFK.$$

Значит, $$\triangle BMC \cong \triangle EFK$$ по первому признаку равенства треугольников.

2) Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$DEK$$. Так как $$M$$ и $$K$$ — середины сторон $$AC$$ и $$DF$$, то

$$AM=\frac{1}{2}AC,\qquad DK=\frac{1}{2}DF.$$

Поскольку $$AC=DF$$, получаем $$AM=DK$$.

Также $$\angle BAM=\angle EDK$$, так как $$AM$$ лежит на прямой $$AC$$, а $$DK$$ — на прямой $$DF$$, и при этом $$\angle A=\angle D$$.

Имеем:

$$AB=DE,\quad AM=DK,\quad \angle BAM=\angle EDK.$$

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle DEK$$ по первому признаку равенства треугольников.

Ответ

$$\triangle BMC \cong \triangle EFK,$$ $$\triangle ABM \cong \triangle DEK.$$