Упр.671 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 671. Градусные меры смежных углов АВС и CBD относятся как 5 : 4. Найдите угол между биссектрисами углов АВС и ABD. Сколько решений имеет задача?

Так как углы $$\angle ABC$$ и $$\angle CBD$$ смежные, то

$$\angle ABC+\angle CBD=180^\circ.$$

По условию

$$\angle ABC:\angle CBD=5:4.$$

Пусть $$\angle ABC=5x$$, $$\angle CBD=4x$$. Тогда

$$5x+4x=180^\circ,$$

$$9x=180^\circ,$$

$$x=20^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle ABC=100^\circ,\qquad \angle CBD=80^\circ.$$

Пусть $$BE$$ и $$BF$$ — биссектрисы углов $$\angle ABC$$ и $$\angle CBD$$ соответственно. Тогда

$$\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC=50^\circ,$$

$$\angle CBF=\frac{1}{2}\angle CBD=40^\circ.$$

Угол между биссектрисами равен

$$\angle EBF=\angle EBC+\angle CBF=50^\circ+40^\circ=90^\circ.$$

Но если рассматривать другой, смежный с ним угол между прямыми $$BE$$ и $$BF$$, то он равен

$$180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Значит, в данной конфигурации угол между биссектрисами однозначно равен $$90^\circ$$.

Ответ

$$90^\circ$$; задача имеет $$1$$ решение.